Actualización

El gobierno español ha publicado este sábado 5 de junio el BOE que confirma la modificación de las reglas de entrada para ciudadanos vacunados extracomunitarios / Schengen a partir del 7 de junio.

Qué ha confirmado España ahora?

España ha modificado los criterios para la restricción temporal de viajes no imprescindibles desde terceros países a la UE y países Schengen.
La modificación más destacada es que las personas que deseen viajar a España desde fuera de la UE / Zona Schengen pueden hacerlo a partir del 7 de junio si tienen certificado de vacunación y han tenido su tratamiento de vacunación completo o última dosis 14 días antes del viaje.
Además las personas vacunadas se han agregado a la lista de viajeros extracomunitarios / Schengen que están exentos de la prohibición de viajes no esenciales a España, que hasta ahora había sido principalmente para nacionales y residentes españoles, estudiantes, varias categorías diferentes de trabajadores y en algunos casos cónyuges y familiares de España / UE y aquellos que acrediten motivos de fuerza mayor. Acceda al BOE

Actualmente no hay cambios en la lista de países no pertenecientes a la UE que están exentos de la regla de viaje no esencial de España. Los viajeros de Australia, Israel, Nueva Zelanda, Ruanda, Singapur, Corea del Sur, Tailandia, Hong Kong, Macao, China, Reino Unido y Japón pueden seguir viniendo a España por motivos no imprescindibles como vacaciones. La diferencia para los viajeros vacunados de países que no están en la lista es que ellos, como “personas específicas”, ahora también están exentos de la prohibición de viajar no esencial, siempre que puedan demostrar que han sido vacunados.

Se ha publicado este sábado 5 de junio otro segundo BOE  en el que se establecen las nuevas condiciones para viajar a España en cuanto a certificados de vacunación.
En cuanto a los certificados de diagnóstico, actualmente se aceptarán como válidos los certificados de prueba diagnóstica de infección activa de COVID-19 con resultado negativo expedidos en las cuarenta y ocho horas anteriores a la llegada a España.

Se mantiene la limitación de los vuelos entre la República Federativa de Brasil y la República de Sudáfrica y los aeropuertos españoles hasta el 30 de junio. Desde la República Federativa de Brasil y la República de Sudáfrica solo podrán realizarse vuelos a España que estén ocupados por ciudadanos españoles o andorranos, residentes en ambos países y pasajeros en tránsito internacional a un país no Schengen con escala inferior a 24 horas sin abandonar la zona de tránsito del aeropuerto español.
Estas restricciones no afectan al personal aeronáutico necesario para llevar a cabo las actividades de transporte aéreo.
Además, se contemplan otras exenciones relativas a vuelos de aeronaves de Estado, servicios de búsqueda y salvamento (SAR), vuelos con escala en territorio español con fines no comerciales y que tengan por destino final otro país, vuelos exclusivos de carga, posicionales (ferry) y humanitarios, médicos o de emergencia.

Update

The Spanish government on Saturday June 5th published a state bulletin confirming that it will modify the entry rules for vaccinated non-EU/Schengen citizens from June 7th.

What has Spain now confirmed?

Spain has modified the criteria for the temporary restriction of non-essential travel from third countries to the EU and Schengen countries.
The standout modification is that people who wish to travel to Spain from outside the EU/Schengen Zone can do so from June 7th if they have a vaccination certificate and have had their full vaccination treatment or last dose 14 days before travel. 
In essence, vaccinated people have been added to the list of non-EU/Schengen travellers who are exempt from the ban on non-essential travel to Spain, which up to now had been mainly for Spanish nationals and residents, students, several different categories of key workers and in some cases spouses and family members of Spanish/EU and those who can prove force majeure reasons. More information here

There are no changes to the list of non-EU countries which are exempt from Spain’s non-essential travel rule. People from Australia, Israel, New Zealand, Rwanda, Singapore, South Korea, Thailand, Hong Kong, Macao, China, the United Kingdom and Japan can continue coming to Spain for non-essential reasons such as holidays.
The difference for vaccinated travellers from countries that are not on the list is that they as specific people are now also exempt from the non-essential travel ban, as long as they can prove they’ve been vaccinated.

The Spanish government has published a second state bulletin which lays out the new conditions for travel to Spain regarding vaccination certificates, health passes and more. 
Certificates of diagnostic test of active COVID-19 infection with a negative result issued in the forty-eight hours prior to arrival in Spain will be accepted as valid.

The limitation of flights between the Federative Republic of Brazil and the Republic of South Africa and Spanish airports is maintained until June 30.
Flights from Brazil and South Africa may only land at Spanish airports if they are carrying Spanish nationals or residents, Andorran nationals, travelers transiting through Spain to a non-Schengen country, provided they will spend less than 24 hours in Spain and will not leave the transit area of the Spanish airport. Government flights, search and rescue services and non-commercial flights with a stop in the Spanish territory are exempt. Cargo, ferry, humanitarian, medical and emergency flights and aeronautic staff required for air transport are also exempt from the air travel ban.